Parábolas
verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c. Ecuación involucrando
la distancia focal
Ecuación de una parábola vertical.Puede haber muchas parábolas que tengan un
mismo vértice (variando el parámetro a) en la primera
ecuación. Sin embargo, dados dos puntos fijos, existe solamente una parábola
que los tiene por vértice y foco ya que la directriz queda automáticamente
fija como la perpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa
misma distancia del último. Consideremos el caso especial en que el
vértice es (0,0) y el foco
es (0,p). La directriz es por
tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p) . A la distancia entre el vértice y el foco se le
llama distancia focal,
de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con
esta configuración se tiene: La ecuación de una parábola con vértice en
(0,0) y foco en (0,p) es x² = 4py De forma alterna: La ecuación de una parábola con
vértice en (0,0) y foco en (0,p) es y = x² 4p
Es de notar que el
coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la
parábola. Ambas ecuaciones se refieren a parábolas
verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se
abre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco
sería (0,-p) y de esta forma: La ecuación de una parábola con vértice en
(0,0) y foco en (0,-p) es x² = -4py Cuando la parábola es horizontal «hacia la
derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de x,
y: La ecuación de una parábola con vértice en
(0,0) y foco en (p,0) es y² = 4px obteniendo mediante un cambio de signo la
ecuación de las parábolas hacia la izquierda. Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice
no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el caso común de
la parábola vertical hacia arriba se tiene: La ecuación de una parábola con vértice en
(h,k) y foco en h,k + p) es: (x – h)² = 4p(y – k) Mientras que para la parábola horizontal se
intercambia x con y: La ecuación de una parábola con vértice en
(h,k) y foco en (h+p, k) es: (y – k) ² = 4p (x –
h). Ecuación general de
una parábolaHasta ahora se han descrito solo parábolas
con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las
fórmulas son funciones de x o
de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto
a un par de ejes de coordenadas ortogonales. La expresión algebraica que describe una
parábola que ocupe cualquier posición en un plano es: ax² + bxy + cy² + dx
+ ey + f = 0 si y sólo si b² - 4ac = 0 y los coeficientes a y c no pueden ser
simultáneamente nulos. Mediante traslaciones y rotaciones es posible
hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese
mediante una fórmula algebraica de la forma ax´²`+ bx´ + c = 0, donde a es distinto de cero. Como trisectriz Trisección
de un ángulo mediante una parábola La parábola se puede utilizar como trisectriz, es decir, permite
realizar la trisección exacta de un
ángulo arbitrario al ser utilizada como medio auxiliar de una construcción
con regla y compás. Este hecho no está en contradicción con la imposibilidad
de realizar la trisección de un ángulo con regla y compás exclusivamente,
ya que el uso de parábolas no está permitido en las normas de las
construcciones con regla y compás clásicas. Para trisecar ˂AOB, colocar su cateto OB en el eje x de manera que el
vértice O esté en el origen del
sistema de coordenadas. El sistema de coordenadas también contiene la
parábola y = 2x². El círculo
unitario con radio 1 alrededor del origen se cruza con el otro cateto
del ángulo OA y, desde este punto de
intersección, se debe dibujar la perpendicular sobre el eje y. El
paralelo al eje y que pasa por el punto medio de esa
perpendicular y la tangente en el círculo unitario en (0,1) se intersecan en C. El círculo alrededor de C con radio OC se
cruza con la parábola en P1. La
perpendicular de P1 al
eje x interseca el círculo unitario en P2, y ˂P2OB es
exactamente un tercio de ˂AOB. La exactitud de esta construcción se puede
ver mostrando que la coordenada x de P1 es cos(α).
Resolver el sistema de ecuaciones dado por el círculo alrededor de C y la parábola conduce a la ecuación cúbica 4xᶟ 3x – cos(3α) = 0. La fórmula del ángulo triple cos(3α) = 4cos(α)ᶟ -
3cos(α) permite demostrar que cos(α) es de hecho una solución de esa
ecuación cúbica. Tangente de la
parábola Un resultado importante en
relación a las tangentes de una parábola establece: La tangente biseca el ángulo
entre el foco, el punto de tangencia y su proyección Llamemos F al
foco de una parábola, P a un punto cualquiera de la misma y T a la
proyección de este sobre la directriz. Sea MP la mediatriz del
triángulo FPT,
el cual es isósceles por ser iguales las distancias FP y PT, como se
ha visto. Luego MP biseca al ángulo FPT, restando verificar si es tangente a la
parábola en el punto P. Sea Q otro
punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz.
Puesto que FQ
= QU y QU ˂ QT, entonces FQ ˂ QT. Dado que esto es cierto para
cualquier otro punto de la parábola, se concluye que toda la parábola está de
un mismo lado de MP, y como la desigualdad es estricta, no hay otro punto de la
parábola que toque a la recta MP, esto quiere decir que MP es la tangente de la parábola
en P. La
tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su
proyección. EJERCICIOS: 11.- En base a la ecuación de la
siguiente parábola determina las coordenadas de sus focos,
ecuaciones de sus directrices, distancia de sus lados
rectos y la gráfica. 6y² - 12x = 0 a. Despejamos el término cuadrático 6y² = 12x y² = 2x b. Identificamos el valor de p 4p = 2 p = 2/4 = ½ c. Localizamos el foco y
encontramos la ecuación de la directriz Foco = F (1/2,0) Directriz x = -1/2 d. Finalmente graficamos usando
los datos obtenidos
22.- Calcular las coordenadas del
vértice y del foco, y la ecuación de la directriz de la parábola: y² - 6y – 8x + 17 = 0 a.
Completamos el trinomio al cuadrado perfecto y lo despejamos (y² - 6y
+ 9) – 9 – 8x + 17 = 0 (y² - 6y
+ 9) = 8x - 8 b.
Factorizamos (y – 3)
² = 8 (x – 1) c.
Con la ecuación identificamos sus elementos Vértice V (1,3) Parámetro 4p = 8 p = 2
d.
Con el vértice y el valor del parámetro p, localizamos el foco y la
directriz
Foco F (1 + 2,3) F (3,3)
Directriz x = 1 – 2 x = -1 e.
Finalmente ubicamos en la gráfica
·
ELIPSE La elipse es
el lugar geométrico de todos
los puntos de un plano, tales que la suma
de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Una elipse es una curva plana, simple y cerrada con dos ejes de simetría que resulta al
cortar la superficie de un cono por un plano
oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del
eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera
un esferoide achatado,
mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un
esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia. Elementos de una
elipse
La
elipse y algunas de sus propiedades geométricas La elipse es una curva plana y cerrada,
simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí: ·
El semieje mayor (el
segmento C-a de la figura), y ·
El semieje menor (el
segmento C-b de la figura). Miden
la mitad del eje mayor y menor respectivamente. Puntos de una elipseLos focos de la elipse
son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en
el eje mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de
la elipse a los dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro
mayor (d (P, F1) +d (P, F2)
= 2a. Por
comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q. Si F1 y F2 son
dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la
distancia F1F2, un punto P pertenecerá
a la elipse si se cumple la relación: PF1 + PF2 =
2a Donde a es
la medida del semieje mayor de la elipse. Ejes de una elipseEl
eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la
elipse. El resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los
focos es constante y equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la
menor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse
son perpendiculares entre sí. Elementos gráficos de
la elipseNomenclaturaLa descripción corresponde a la imagen; ·
Los diámetros
principales o ejes
principales son los diámetros máximo y mínimo de la elipse,
perpendiculares entre sí y que pasan por el centro. Tradicionalmente son
nombrados A-B el
mayor y D-C el
menor, aunque también se utilizan otras nomenclaturas, como A-A' el mayor y B-B' el menor. ·
El centro de la elipse se suele nombrar O (origen). En la
circunferencia los focos coinciden con el centro. · Los focos se
suelen nombrar con la letra F acompañada
de algún medio de diferenciarlos, F1 - F2, o F' - F". · El diámetro
mayor de la elipse se suele designar 2a, siendo a,
el semieje mayor. El semieje menor se denomina b y
el diámetro menor 2b.
La distancia de cada foco al centro se denomina c. · Los segmentos que van de cada foco a un punto de
la elipse se denominan radios vectores; la suma de los radios
vectores de cada punto es una constante igual a 2a.
En la imagen se ven algunas otras líneas y
puntos importantes de la elipse. ·
La circunferencia principal (c. p., en
verde) tiene como centro el de la elipse, y como radio a. Se
puede definir como el lugar geométrico de todos los
pies de las tangentes a la elipse (como se ve en el ejemplo). ·
Las circunferencias focales (c. f., en
verde también) son las que tienen como centro cada foco y como radio 2a.
Las circunferencias focales y la principal cumplen una homotecia de razón = 2 y centro en cada foco (el de la
circunferencia focal contraria). ·
La recta t en color cian es una tangente por un punto
cualquiera. Al punto de tangencia se lo suele nombrar T, T1,
T2, etc. Los segmentos perpendiculares a las tangentes que
pasan por los focos, aquí en rojo, se suelen prolongar hasta la circunferencia
focal del foco opuesto. No coinciden con la normal a la tangente
salvo en los extremos de los ejes principales. ·
Los puntos donde se cruzan las normales con sus tangentes
son los pies de la tangente. Ese punto pertenece siempre a la
circunferencia principal. Al doble de la distancia de F al pie se encuentra
el corte de la normal con la circunferencia focal del foco opuesto. ECUACIONES
DE LA ELIPSE En coordenadas cartesianasx2 + x*y + y2 =
1 Forma
cartesiana centrada en el origenLa
ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas,
con centro en el origen, es: x² + y² = 1
a² b² donde a > 0 y b >
0 son los semiejes de la elipse, donde si a, corresponde
al eje x (abscisa) y b al
eje de y (ordenada) la elipse es
horizontal, si es al revés, entonces es vertical. El origen O es el punto
medio del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama
distancia focal y vale 2c = 2εa, siendo ε la excentricidad y a, el semieje mayor. Forma cartesiana centrada fuera del origenSi el centro de la elipse se encuentra en el
punto (h,k), la ecuación es: (x – h) ² + (y – k) ² =
1
a² b² Ejemplos: Determina las coordenadas de los
focos y de los vértices de las siguientes elipses. 1.- x² + y² 16 12 Como la ecuación
ya está en forma canónica x² + y², se procede a
a² b² calcular el semieje mayor y el menor: a² = 16, entonces a = 4 b² = 12, entonces
b = 2²*3, entonces b = 2√3 Y así encontrar
los vértices que forman el eje mayor: A (4,0) y A´ (-4,0) Y el eje menor: B (0,2√3) y B (0,-2√3) Y por último la distancia focal y los
focos c = √a² - b² = √16 – 12 = √4 c = 2 F (2,0) y F´ (-2,0) 2 2.- x² + 4y² = 16 Se obtiene la forma canónica, dividiendo toda la expresión por 16 x² + 4y² = 16 16 16 16 x² + y² = 1 16 4 Se calculan los semiejes mayor y menor a² = 16 a = 4 b² = 4 b = 2 y los vértices: A (4,0) y A´ (-4,0) B (0, 2) y B´ (0,-2) Y por último se calcula la distancia semifocal y los focos c = √a² - b² = √16-4 = √12
c = 2√3 F(2√3,0) Y F´(-2√3,0)
·
·
| 
Comentarios
Publicar un comentario