HIPÉRBOLA Y ECUACIÓN SIMÉTRICA O CANÓNICA

 

LA HIPÉRBOLA

Una hipérbola es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto mediante un plano no necesariamente es paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. En geometría analítica, una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados foco, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Ecuaciones canónicas en coordenadas cartesiana

La hipérbola cuyo centro se halla en el origen de coordenadas {\displaystyle O(0,0)\,}O (0,0) es representable mediante una de las siguientes ecuaciones denominadas de manera común como ecuación canónica o forma normal de la ecuación de una hipérbola:

Ecuación 1:    x² - y² = 1, eliminando denominadores:    x²b² - y²a² = a²b²

                        a²   b²

Ecuación 2:    y² - x² = 1, eliminando denominadores:   b²y² - a²x² = a²b²

                       a²   b²

 En dichas ecuaciones {\displaystyle a}a, {\displaystyle b}b y {\displaystyle c}c, representan a los semiejes transverso, conjugado y focal, respectivamente. La ecuación 1 representa a las hipérbolas cuyo eje focal es colineal al eje {\displaystyle x}x y la 2 para aquellas que lo son respecto al eje {\displaystyle y}y. En la primera ecuación, los focos están en {\displaystyle F(\pm c,0)}F(±c,0) y los vértices en {\displaystyle V(\pm a,0)}V(±a,0). En la segunda, los focos están en {\displaystyle F(0,\pm c)}F(0,±c) y los vértices en {\displaystyle V(0,\pm a)}V(0,±a). En cualquier caso, la relación entre los tres semiejes viene dada por la igualdad: 

Ecuación 3:    c² = a² + b²

Sin embargo, se debe advertir que, a diferencia del caso de la elipse, no necesariamente {\displaystyle a>b}a ˃ b.

Ecuaciones de una hipérbola con centro en el punto {\displaystyle C(h,k)}C(h,k)

Como en el caso anterior, la ecuación asume una de las siguientes formas:

Ecuación 4: (x – h) ² - (y – k) ² = 1

                         a²            b²

Ecuación 5: (y – k) ² - (x – h) ² = 1

                         a²             b²{\displaystyle {\frac {(x-h)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-k)^{2}}{b^{2

La ecuación 4 corresponde a hipérbolas cuyo eje focal y mayor son paralelos al eje {\displaystyle x}x, en las cuales el vértice se halla en {\displaystyle V(h\pm a,k)}V(h ± a, k) y los focos en {\displaystyle F(h\pm c,k)}F(h ± c, k). La ecuación 5 es la de las hipérbolas cuyo eje focal y mayor son paralelos respecto al eje {\displaystyle y}y en las cuales los vértices están ubicados en {\displaystyle V(h,k\pm a)}V(h, k ± a) y los focos en {\displaystyle F(h,k\pm c)}F(h, k ± c).

Excentricidad

Secciones cónicas.

 

La excentricidad {\displaystyle e}e de una hipérbola es un valor definido como: e = c

                                                                                                            a

{\displaystyle e={\frac {c}{a}}}dónde: {\displaystyle c}c representa la mitad de la distancia del eje focal.

{\displaystyle a}            a representa la mitad de la distancia del eje mayor.

Ya que {\displaystyle c}c es un valor mayor que {\displaystyle a}a, la excentricidad de una hipérbola es siempre mayor que 1.

Ecuación general de la hipérbola

La ecuación general de una hipérbola es la siguiente:

Ecuación 6: Ax² - Cy² + Dx + Ey + F = 0

Si los coeficientes {\displaystyle A}A y {\displaystyle C}C son de signos diferentes, no nulos y {\displaystyle A>0}A˃0 y {\displaystyle C>0}C˃0, entonces se representa la ecuación general de una hipérbola cuyos ejes son paralelos o colineales a los ejes coordenados o un par de rectas que se cortan.  ​

Demostración

En la ecuación 6 son separadas las variables en {\displaystyle x}x y y {\displaystyle y}convirtiendo a {\displaystyle A}A y {\displaystyle C}C en factores comunes:

Ecuación 7: A (x² + Dx) – C (y² - Ey) = -F

                                 A                   C   {\displaystyle A\left(x^{2}+{\frac {D}{A}}x\right)-C\left(y^{2}-{\frac {E}{C}}y\right)=-F}

Mediante la completación de cuadrados se reescribe la ecuación anterior como:

Ecuación 8: A (x² + Dx + D²) – C (y² - Ey + E²) = D² - E²   - F

                                A       4A²               C     4C²    4A   4C{\displaystyle A\left(x^{2}+{\frac {D}{A}}x+{\frac {D^{2}}{4A^{2}}}\right)-C\left(y^{2}-{\frac {E}{C}}y+{\frac {E^{2}}{4C^{2}}}\right)={\frac {D^{2}}{4A}}-{\frac {E^{2}}{4C}}-F}

Ahora se convierten los trinomios de la izquierda en binomios notables:

Ecuación 9: {\displaystyle A\left(x+{\frac {D}{2A}}\right)^{2}-C\left(y-{\frac {E}{2C}}\right)^{2}={\frac {D^{2}}{4A}}-{\frac {E^{2}}{4C}}-F} A (x + D)² – C (y - E)² = D² - E²   - F

                                2A               2C     4A   4C{\displaystyle A\left(x^{2}+{\frac {D}{A}}x+{\frac {D^{2}}{4A^{2}}}\right)-C\left(y^{2}-{\frac {E}{C}}y+{\frac {E^{2}}{4C^{2}}}\right)={\frac {D^{2}}{4A}}-{\frac {E^{2}}{4C}}-F}

Se convierte el término de la derecha a una constante denominada {\displaystyle t}t. De acuerdo al valor de {\displaystyle t}t, se presentan los siguientes casos:

1.     Si {\displaystyle t>0} t˃0, los ejes transverso y focal de la curva son paralelos o colineales al eje {\displaystyle x}x.

2.     Si {\displaystyle t<0}t˂0, los ejes transverso y focal de la curva son paralelos o colineales al eje {\displaystyle y}y.

3.     Si {\displaystyle t=0}t=0, la ecuación representa a dos rectas que se cortan.

Cualquiera que sea el caso, el centro de la hipérbola o el punto de intersección de las dos rectas es siempre C (-D,   E)

                                        2A   2C

Elementos de la hipérbola

{\displaystyle C\left(-{\frac {D}{2A

Obtención de una hipérbola mediante la sección de un cono doble.

 

v Eje transversal o transverso: Se le denomina al segmento rectilíneo donde se encuentran los focos y los vértices de la hipérbola. Su valor es {\displaystyle 2a}2a y es perpendicular al eje conjugado.

v Eje conjugado o imaginario: Es el segmento rectilíneo que pasa por el centro de la hipérbola y que es perpendicular o normal al eje transversal y cuya longitud es de {\displaystyle 2b}2b.

v Eje focal: Es el segmento rectilíneo cuyos extremos son los focos de la hipérbola y cuya longitud es de {\displaystyle 2c}2c. Este eje es colineal con el eje transversal.

v Asíntotas: Son las rectas que se intersecan en el centro de la hipérbola y se acercan a las ramas al alejarse estas del centro de la hipérbola. Las ecuaciones de las asíntotas aplicables a las ecuaciones 1 y 2 son, respectivamente:

 

y = ±bx

                                                                          a

y = ±ax

                                                                          b

Las asíntotas de las hipérbolas representadas por las ecuaciones 4 y 5 son expresadas, respectivamente, igualando estas a cero, como sigue:

(x – h – y – k) (x – h + y – k) = 0 

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{lr}\displaystyle \left({\frac {x-h}{a}}-{\frac {y-k}{b}}\right)\left({\frac {x-h}{a}}+{\frac {y-k}{b}}\right)=0\\\\\displaystyle \left({\frac {y-k}{a}}-{\frac {x-h}{b}}\right)\left({\frac {y-k}{a}}+{\frac {x-h}{b}}\right)=0\end{array}}\right.}                                                  a          b           a          b

(y – k – x – h) (y – k + x – h) = 0

                                                  a          b         a          b

 

v Vértices: Los vértices de una hipérbola son los puntos que son los extremos de su eje transversal.

v Focos: Son dos puntos, {\displaystyle F_{1}\,y\,F_{2}}F1 y F2, respecto de los cuales permanece constante la diferencia de distancias (en valor absoluto) a cualquier punto, {\displaystyle x}x, de dicha hipérbola.

{\displaystyle \vert d(F_{1},x)-d(F_{2},x)\vert =2a}׀(F1, x) – (F2, x)׀ = 2a

v Centro: Punto medio de los vértices y de los focos de la hipérbola.

v Tangentes: La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

v Radio de curvatura: Sea {\displaystyle M(x_{0},y_{0})}M(x0, y0) un punto de la hipérbola, entonces el radio de curvatura de la curva es: 

R = a²b² (x²0 + y²0) ³/² = (r1.r2)¹·⁵

                                                              a⁴     b⁴              ab

v Áreas:

-         Área comprendida entre una rama de hipérbola y una cuerda que la atraviesa

Sea un segmento {\displaystyle AMN}AMN donde {\displaystyle A}A, es el vértice de una rama y {\displaystyle M}M y N{\displaystyle N} son los extremos de una cuerda perpendicular al eje focal, entonces el área es:

 AMN = x.y – a.b.ln (x + y) = a.b.cosh⁻¹ (x)

                                   a     b                        a {\displaystyle AMN=x\cdot y-a\cdot b\cdot \ln \left({\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}\right)=a\cdot b\cdot \cosh ^{-1}\left({\frac {x}{a}}\right)}

 

-         Área bajo un arco de hipérbola

Sea un cuadrilátero curvo {\displaystyle OAMG}OAMG, formado por los puntos {\displaystyle O}O que es el origen de coordenadas; {\displaystyle A}A que es un vértice; {\displaystyle M(x,y)}M (x,y)  que es un punto de la rama de una hipérbola y {\displaystyle G}G un punto sobre una asíntota, tal que el segmento {\displaystyle MG}MG es paralelo a la otra asíntota. El área comprendida por los límites de la figura es: 

AMG = a . b + a . b. ln (2OG)

                                                            4          2             c

{\displaystyle OAMG={\frac {a\cdot b}{4}}+{\frac {a\cdot b}{2}}\cdot \ln \left({\frac {2OG}{c}}\right)} Ejemplos:

1.    Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F(4,0) , de vértice A(2,0)  y de centro C(0,0) .

-         Como el centro y el vértice se encuentran sobre el eje horizontal, entonces la ecuación es de la forma: x² - y² = 1

                    a²    b²

-         Se calcula el valor de a, el cual es igual a la distancia del centro a uno de los vértices a = √ (x1 – x2) ² + (y1 – y2) ² = √ (2 – 0) ² + (0 -0) ² = √2²

a = √4 = 2

-         Se calcula el valor de c, el cual es igual a la distancia del centro a uno de sus focos c = √ (4 – 0) ² + (0 – 0) ² = √ 4² = √16 = 4

-         Se calcula el valor de b:  b = √ c² - a² = √ 4² - 2² = √16 – 4 = √12

b = √2².3 = 2√3

-         La ecuación de la hipérbola es: x² - y²

                                                   4     12

 

2.    Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F´ (5,0) y F (5,0) y 6 como diferencia de los radios vectores

-         Como los focos se encuentran sobre el eje horizontal y son simétricos respecto al origen, entonces el centro es C (0,0) y la ecuación es de la forma: x² - y² = 1

                                                                                            a²     b²

 

-         Se calcula el valor de c, el cual es igual a la distancia del centro a uno de sus focos: c = √ (5 -0) ² + (0 – 0) ² = √5² = √25 = 5

-         Como la diferencia de los radios vectores es 6, entonces 2a = 6, luego a = 3 

-         Se calcula el valor de b: b = √c² - a² = √5² - 3² = √25 – 9 = √16 = 4

-         La ecuación de la hipérbola es: x² – y² = 1

9                                                          9     16

-         La excentricidad es: e = c = 5

                                       a    3

3.    Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F (-2,5), de vértice A (-2,3) y de centro C (-2,-5).

-         Como el centro y el vértice tienen la misma coordenada x, entonces la ecuación es de la forma: (y + 5) ² - (x + 2) ² = 1

                        a²            b²

-         Se calcula el valor de a, el cual es igual a la distancia del centro a uno de sus vértices: a = √ (-2 + 2) ² + (3 + 5) ² = √ 8² = 8

-         Se calculamos el valor de c, el cual es igual a la distancia del centro a uno de sus focos: c = √ (-2 + 2) ² + (5 + 5) ² = √ 10² = 10

-         Se calcula el valor de b: b = √ c² - a² = √ 10² - 8² = √ 100 – 64 = √36 = 6

-         La ecuación de la hipérbola es: (y + 5) ² – (x + 2) ² = 1

                                                       64            36

 

ECUACIÓN SIMÉTRICA O CANÓNICA

 

Es la expresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.

 

 

Ecuación canónica o segmentaria

La ecuación canónica o segmentaria de la recta, es la expresión algebraica de la recta que se determina conociendo a los valores dónde la recta corta a cada uno de los ejes coordenados.

El valor donde la recta corta al eje X le llamaremos a, y el valor donde la recta corta al eje Y le llamaremos b, generando los dos puntos en el plano cartesiano (a,0) y  (=,b) respectivamente.
 
 

a es la abscisa en el origen de la recta

b es la ordenada en el origen de la recta.

Una recta carece de la forma canónica en los siguientes casos:

1.- Recta paralela a =X, que tiene de ecuación y=n

2.- Recta paralela a =Y, que tiene de ecuación x=k.

3.- Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y=mx

     En muchas ocasiones, se tiene la ecuación general de la recta, y partiendo de ahí se necesita la ecuación canónica, por esta razón aquí el proceso algebraico a seguir, para que también de esta manera se conozca la estructura de la ecuación canónica de la recta.

 Ejemplo:

Se tiene la ecuación general de la recta: Ax + By + C = 0

-         Supóngase que x = 0, con la finalidad de saber dónde la recta corta al eje Y, entonces la ecuación general queda: By + C = 0

-         Se despeja y, entonces y = -C

                                             B

-         El valor encontrado corresponde a b de la ecuación canónica, entonces

b = -C 

        B

-         Usando el mismo razonamiento, el valor de a es: a = -C

                                                                                                 A

-         La forma que tiene la canónica es:    x + y = 1

                                                           a    b   

   Donde:

·         a es la abscisa en el origen de la recta.

·         b es la ordenada en el origen de la recta.

·         El independiente de la general no debe ser cero, significa que la forma canónica de la recta no describe a las rectas que pasan por el origen, ya que ahí a = b = 0

·         Si A o B de la ecuación general son cero, significa que la recta es horizontal o vertical respectivamente, lo que lleva a que a o b de la ecuación canónica no existen, entonces tampoco hay forma de la ecuación canónica para este caso.

v Ejemplos con la ecuación canónica

 1.-  Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de 5 y 3 unidades, respectivamente. Hallar su ecuación.

En este caso es simple, ya que de la información se obtiene que a=5 y b=3, por lo que solamente es necesario sustituir los valores en la ecuación:

x + y = 1

 5    3

2.- Halla la ecuación canónica o segmentaria de la recta que pasa por los siguientes dos puntos: A (0,4)   B (-2,0)

En este caso, el enunciado no está dando 2 puntos cualesquiera, sino que se trata de los dos puntos de corte con los ejes.

Punto de corte de la recta con el eje X: (-2,0)

Punto de corte de la recta con el eje Y: (0,4)

Por lo tanto, como ya se tienen los dos puntos de intersección con los ejes, simplemente se aplica la fórmula de la ecuación canónica o segmentaria de la recta:

x + y = 1

a    b

Y, finalmente, se sustituyen el valor de los parámetros a y b en la fórmula:

x + y = 1

-2   4

3.- ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes coordenados de la siguiente recta? 

  x + y = 1

  3   -1

Los puntos de corte son:

Punto de corte con el eje X: (3,0)

Punto de corte con el eje Y: (0,-1)

 

4.- ¿Cuál es la ecuación canónica o segmentaria de la recta que está representada gráficamente?

A partir del gráfico se conocen los puntos donde la recta cruza los ejes de coordenadas:

Punto de corte de la recta con el eje X: (5,0)

Punto de corte de la recta con el eje Y: (0,3)

Por lo tanto, una vez conocidos los 2 puntos de intersección con los ejes, simplemente se sustituye en la fórmula de la ecuación canónica o segmentaria de la recta:  x + y = 1

                                                                                                                       5    3

4.- Calcula la ecuación canónica o segmentaria de la recta que queda determinada por la siguiente ecuación general (o implícita):

3x-2y+6 =0

Para pasar de ecuación general a ecuación segmentaria,

-         primero se despeja el término independiente de la ecuación: 3x-2y+6 =0, entonces: 3x -2y = -6

-         En segundo lugar, se divide toda la ecuación por el coeficiente del miembro derecho de la ecuación: 3x -2y = -6, entonces 3/-6=1/-2

                           -6         -6

-2/-6=1/3 y -6/-6=1

Entonces la ecuación canónica es: x - y = 1

                                                       -2  3