COORDENADAS POLARES Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

 

COORDENADAS POLARES

     Son un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo. Este sistema es ampliamente utilizado en física y trigonometría.

     De manera más precisa, como sistema de referencia se toma:

(a) un punto O del plano, al que se llama origen o polo;  

(b) una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano).

      Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P.

     El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la “coordenada radial” o “radio vector”, mientras que el ángulo es la “coordenada angular” o “ángulo polar”.

     En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0°).

 

Localización de un punto en coordenadas polares

Sistema de coordenadas polares con varios ángulos medidos en grados

 

REPRESENTACIÓN DE PUNTOS CON COORDENADAS POLARES

·         El punto (3, 60°) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60° sobre OL.

·         El punto (4, 210°) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210° sobre OL.

Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema de coordenadas polares no hay una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadas polares. Esto ocurre por dos motivos:

·         Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto ({\displaystyle r}r, θ) se puede representar como ({\displaystyle r}r, θ ± {\displaystyle n}n×360°) o (−{\displaystyle r}r, θ ± (2{\displaystyle n}n + 1)180°), donde {\displaystyle n}n es un número entero cualquiera. ​

·         El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo. ​ Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar {\displaystyle r}r a números no negativos{\displaystyle r} r ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°] o [−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π] o [−π, π]).

     Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.

En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.

CONVERSIÓN DE COORDENADAS

Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa

Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ{\displaystyle \theta } del vector de posición sobre el eje x.

 

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo {\displaystyle \theta }θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

x = rcosθ

y = rsenθ

{\displaystyle x=r\cos \theta \,}

{\displaystyle y=r\operatorname {sen} \theta \,}Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:

r = √x² + y² {\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} (aplicando el Teorema de Pitágoras)

 

Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:

·         Para {\displaystyle r}r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.

·         Para {\displaystyle r}r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].

Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ({\displaystyle \arctan }arctan denota la inversa de la función tangente):

               arctan(y)        si x ˃ 0 y y ˃ 0

                          x      

                π                   si x = 0 y y ˃ 0

                2

             

               arctan(y) + π     si x ˂ 0

    θ=                  x 

 

               3π                     si  x = 0 y y ˂ 0

                2     

 

              arctan(y) + 2π     si x ˃ 0  y y ˂ 0

                         x 

 

     Para obtener θ en el intervalo (-π, π], se considera que arctan (y)

                                                                                                          x

ϵ (- π, π) es una función creciente en su dominio.

      2   2

 

               arctan(y) -π        si x ˂ 0 y y ˂ 0

                           x      

                -π                      si x = 0 y y ˂ 0

                 2

             

               arctan(y)            si x ˃ 0

    θ=                  x 

 

                π                     si  x = 0 y y ˃ 0

                2     

 

              arctan(y) + π     si x ˂ 0 y y ˃ 0

                         x 

 

    

ECUACIONES POLARES

Es la ecuación que  define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo r como una función de θ.  La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ({\displaystyle r}r(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función r.{\displaystyl{\displaystyle r}                

Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación de una función polar {\displaystyle r}r. Si {\displaystyle r}r(−θ) = {\displaystyle r}r(θ) la curva será simétrica respecto al eje horizontal (0°/180°), si {\displaystyle r}r(180°−θ) = {\displaystyle r}r(θ) será simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si {\displaystyle r}r(θ−α°) = {\displaystyle r}r(θ) será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al polo.

CIRCUNFERENCIA

La ecuación general para una circunferencia con centro en ({\displaystyle r}r₀, φ) y radio {\displaystyle a}a es: r² - 2rrₒcos(θ – φ) + rₒ² = a²

En ciertos casos específicos, la ecuación anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para una circunferencia con centro en el polo y radio a, se obtiene: r (θ) = a

Las líneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuación: θ = φ

donde φ es el ángulo de elevación de la línea, esto es, φ = arctan {\displaystyle m}m donde {\displaystyle m}m es la pendiente de la línea en el sistema de coordenadas cartesianas. La línea no radial que cruza la línea radial θ = φ perpendicularmente al punto ({\displaystyle r}r₀, φ) tiene la ecuación:

r(θ) = rₒ sec (θ – φ)

La rosa polar es una famosa curva matemática que parece una flor con pétalos, y puede expresarse como una ecuación polar simple,

r(θ) = a cos (kθ+ Φₒ)

para cualquier constante Φₒ (incluyendo al 0). Si k es un número entero, estas ecuaciones representan una rosa de k pétalos cuando k es impar, o 2k pétalos si k es par. Si k es racional, pero o entero, la gráfica es similar a una rosa, pero con los pétalos solapados. Nótese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc., pétalos. La variable a representa la longitud de los pétalos de la rosa.

Si se toman solo valores positivos para r y valores en el intervalo [0,2π) para θ, la gráfica de la ecuación:

r(θ) = | a sin (k θ + Φₒ)|

         2

Es una rosa de k pétalos, para cualquier número natural k. Si k = 0, la gráfica es una circunferencia de radio r = |a sin (Φₒ).

 

Una rosa polar con ecuación r(θ) = 2 sin 4θ

 

Ejemplos:

1.- Convertir P (1,-1) de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.

Como x = 1 y y = -1,

 se tiene que:  r = ±√1² + (-1) ² = ±√2

Además, cos θ = 1/√2 y sen θ = -1/√2

Teniendo r = √2, entonces θ = 7π/4 y r = -√2, entonces θ = 3π/4

Quedando la representación para P (√2, 7π/4) y (-√2, 3π/4)

2.- ¿Qué es (12,5) en coordenadas polares?

Se usa el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa): a² + b² = c²

                       r² = 12² + 5²

               r = √ (12² + 5²)

               r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13

Usa la función tangente para calcular el ángulo:

               tan θ = 5/12

               θ = arctan (5/12) = arctan (0,42) = 22,78º

3.- ¿Qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?

Se usa la función coseno para x: cos (23º) = x/13

Se cambia de orden y se resuelve: x = 13cos (23º) =13(0,921)    

                                                         x = 11,97

Se usa la función seno para y: sin (23º) = y /13

Se cambia el orden y se resuelve: y = 13 sin (23º) = 13 (0,391)

                                                        y = 5,08 

 4.- Encontrar las coordenadas cartesianas de los siguientes puntos dados en coordenadas polares

a.- (3, π)

       x= r cos θ            x = 3 cosπ            x = 3(-1)               x = -1

       y = r sen θ           y = 3 sen π            y = 3 (0)               y = 0

 Por lo tanto, el punto es (-1,0)

 

b.- (-4, 2/3π)

      x = -4 cos (2/3π) =-4 [-cos (π – 2/3π)] = -4 [-cos(π/3)]

      x = 4 (1/2) = 4/2 = 2

       y = -4 sen (2/3π) = [sen (π – 2/3π)] = -4 [sen(π/3)]

       y = -4(√3/2) = -2√3

  Por tanto, el punto es (2, -2√3)

 

ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.

Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo {\displaystyle (t)}(t) para determinar la posición y la velocidad de un móvil.

En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de está siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera (x, y) equivale a la expresión (x, f(x)).

Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de x en y, es decir que todos los valores x tengan un solo valor y (y solamente uno) correspondiente en  y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como parámetro.

Ejemplo:

1.- Sea la ecuación 3x – 2y – 5 = 0, la ecuación general de una recta entonces cabe las ecuaciones paramétricas:

x = 2t + 5, t ϵ R

y = 3t + 5, t ϵ R

 

2.- Dada la ecuación y = x² , una parametrización sería:

x = t

y = t², t ϵ R

Curvas notables

Circunferencia

Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r, verifica que x² + y² = r², una expresión paramétrica es:

x = r cos t

         y = r sin t, t ϵ R

Elipse

Una elipse  con centro en {\displaystyle (x_{0},y_{0})}(xₒ, yₒ), que se interseque con el eje {\displaystyle x}x en {\displaystyle (x_{0}\pm a,0)}(xₒ ± a,0) y con el eje {\displaystyle y}y  en {\displaystyle (0,y_{0}\pm b)}(o, yₒ ± b), verifica que

{\displaystyle {\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}=1}(x - xₒ) ² + (y - yₒ) ² = 1

a²              b²

Una expresión paramétrica es: x = xₒ + a cos t

                                                  y = yₒ + b sin t, t ϵ R

Ejemplo:

Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P0 (2,-3) y cuyo vector de dirección es v = (1,5).

Donde X0 e Y0 corresponden a las coordenadas del punto por donde pasa la recta y a y b, a las coordenadas de su vector de dirección:

 Para calcular las ecuaciones paramétricas, antes se deben calcular la ecuación vectorial, usando:

Ahora se multiplica la t por las coordenadas del vector:

Y se suman las coordenadas de ambos vectores, expresándolas en un sólo vector:

Finalmente, se escribe la ecuación de la coordenada x por un lado y la ecuación de la coordenada «y» por el otro, llegando a las ecuaciones paramétricas.

{