CONCEPTOS BASICOS DE GEOMETRIA Y SEGMENTOS
GEOMETRÍA
La geometría es una rama de las
matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el
plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos (que incluyen paralelas,
perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, entre otros)
La
geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente,
constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes,
áreas y volúmenes.
Geometría según el
tipo de representación
Si bien Euclides básicamente se
restringió a conceptos geométricos representables mediante figuras (puntos,
líneas, círculos, etc.) el desarrollo de otras ramas de las matemáticas no
conectadas inicialmente con la geometría propiamente dicha, llevó a poder
aplicar las herramientas de otras ramas a problemas propiamente geométricos así
nacieron:
·
La geometría algebraica
·
La geometría analítica
·
La Topología geométrica
·
La geometría diferencial que engloba como ramas a:
o
Geometría diferencial discreta
o
La geometría de curvas y superficies
§
La Geometría diferencial de curvas
§
La Geometría diferencial de superficies
o
La Geometría diferencial de hipersuperficies
o
Geometría diferencial de variedades
o
La geometría de Riemann
·
La Geometría fractal
En este curso, vamos a estudiar: GEOMETRÍA ANALÍTICA
La geometría analítica es una rama de las matemáticas que estudia con profundidad las figuras, sus
distancias, sus áreas, puntos de intersección, ángulos de inclinación, puntos
de división, volúmenes, etc. Es un estudio más profundo para saber con detalle
todos los datos que tienen las figuras geométricas.
Gráfica de dos hipérbolas y sus asíntotas.
Estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas
del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico
comienza con la geometría cartesiana, continúa con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el
desarrollo de la geometría algebraica.
Actualmente, la geometría
analítica tiene múltiples aplicaciones, más allá de las matemáticas y la ingeniería, pues forma parte ahora del trabajo de
administradores para la planeación de estrategias y logística en la toma de decisiones.
Las dos cuestiones fundamentales
de la geometría analítica son:
·
Dado
el lugar geométrico de un sistema de
coordenadas, para obtener su ecuación.
·
Dada la
ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico
de los puntos que verifican dicha ecuación.
La geometría analítica representa
las figuras geométricas mediante la ecuación y= f(x), donde f es una función u otro tipo. Así, las rectas se
expresan mediante la ecuación general ax + by = c, las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2
(la circunferencia, x󠅷² + y² = 4;
la hipérbola, xy = 1).
Localización
de un punto en el plano cartesiano
Como distancia a los ejes
En un
plano se trazan dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) —que
por convenio se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra
vertical—, y cada punto del plano queda unívocamente determinado por las
distancias de dicho punto a cada uno de los ejes, siempre y cuando se dé
también un criterio para determinar sobre qué semiplano determinado por cada una de las rectas hay que
tomar esa distancia, criterio que viene dado por un signo. Ese par de números,
las coordenadas,
quedará representado por un par ordenado (x,y), siendo x la
distancia a uno de los ejes (por convenio será la distancia al eje vertical) y la distancia al otro eje (al horizontal).
En la
coordenada x, el signo positivo (que suele
omitirse) significa que la distancia se toma hacia la derecha sobre el eje
horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo (nunca se omite) indica
que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada y, el signo positivo (también se omite) indica que la distancia
se toma hacia arriba sobre el eje vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia
abajo si el signo es negativo (en ningún caso se omiten los signos negativos).
A la
coordenada x se la suele denominar abscisa del
punto, mientras que a la y se la
denomina ordenada del punto.
Los
puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a 0, así que serán de la forma (x,0), mientras que los del eje de ordenadas tendrán
abscisa igual a 0, por lo que serán de la
forma (0,y).
El
punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia 0 a cada uno de los ejes, luego su abscisa será 0 y su ordenada también será 0. A este punto —el (0,0)— se
le denomina origen de coordenadas.
Ejemplos de ocho puntos localizados en el plano cartesiano mediante sus pares de coordenadas.
Como proyección sobre los ejes
Se
consideran dos rectas orientadas, (ejes), perpendiculares entre sí,
"x" e "y", con un origen común, el punto O de
intersección de ambas rectas.
Teniendo
un punto a, al cual se desea determinar las coordenadas, se procede
de la siguiente forma:
Por el
punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, éstas
determinan en la intersección con los mismos dos puntos, P' (el
punto ubicado sobre el eje x) y el punto P'' (el punto
ubicado sobre el eje y).
Dichos
puntos son las proyecciones ortogonales sobre los ejes x e y del
punto P.
A los
Puntos P' y P'' le corresponden por número la distancia
desde ellos al origen, teniendo en cuenta que, si el punto P' se
encuentra a la izquierda de O, dicho número será negativo, y si el
punto P'' se encuentra por debajo del punto O, dicho
número será negativo.
Los
números relacionados con P' y P'', en ese orden son los
valores de las coordenadas del punto P.
Ejemplo 1: P' se
encuentra a la derecha de O una distancia igual a 2
unidades. P'' se encuentra hacia arriba de O, una
distancia igual a 3 unidades. Por lo que las coordenadas de P son
(2,3).
Ejemplo 2: P' se
encuentra a la derecha de O una distancia igual a 4
unidades. P'' se encuentra hacia abajo de O, una
distancia igual a 5 unidades. Por lo que las coordenadas de P son
(4,-5).
Ejemplo 3: P' se
encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 3
unidades. P'' se encuentra hacia abajo de O, una
distancia igual a 2 unidades. Por lo que las coordenadas de P son
(-3,-2).
Ejemplo 4: P' se
encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 6
unidades. P'' se encuentra hacia arriba de O, una distancia
igual a 4 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-6,4).
Coordenadas
asignadas a tres puntos diferentes (verde, rojo y azul), sus proyecciones
ortogonales sobre
los ejes constituyen sus coordenadas cartesianas.
SEGMENTOS
En geometría, el segmento es
un fragmento de la recta que está comprendido entre
dos puntos, llamados puntos extremos o finales. Así, dado dos puntos A y B, se
llama segmento AB a la
intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B con la
semirrecta de origen B que contiene al punto A. Los puntos A y B son extremos
del segmento y los puntos sobre la recta a
la que pertenece el segmento, la «recta sostén», serán interiores o exteriores
al segmento según pertenezcan o no a este.
Segmentos consecutivos
Dos segmentos son
consecutivos cuando tienen en común únicamente un extremo. Según pertenezcan o
no a la misma recta, se clasifican en:
·
Colineales,
alineados o adyacentes.
·
No
colineales.
Los segmentos como cantidades
El número áureo surge de la
división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La
longitud total a+b es al segmento más largo a,
como a es al segmento más corto b.
El conjunto de los
segmentos métricos, constituye una magnitud, de la que los segmentos son cantidades. Es posible determinar entre ellos relaciones y
efectuar las operaciones definidas para los elementos de una magnitud:
Comparación
de segmentos
Postulado de las tres
posibilidades (Ley de Tricotomía):
Dados dos segmentos, debe
verificarse una y solo una de las tres posibilidades siguientes:
·
Los
segmentos son iguales.
·
El
primero es mayor que el segundo.
·
El
primero es menor que el segundo.
Posibilidades
que se excluyen y se completan, es decir que al cumplirse una dejan de
cumplirse las otras dos.
Igualdad de segmentos
La
igualdad de segmentos, verificable por superposición, goza de las siguientes
propiedades:
·
Idéntica, reflexiva o refleja:
Cualquier segmento es igual a sí mismo.
·
Recíproca
o simétrica: Si un segmento
es congruente con otro, aquel es congruente con el primero.
Desigualdad
La desigualdad de segmentos, goza de la propiedad transitiva para las relaciones
de mayor y de menor.
Operaciones
con Segmentos
·
Sumar:
Para sumar segmentos, se colocan uno a continuación de otro, sobre la misma
recta, es decir, se agrega un segmento al siguiente y el valor de la suma será
la longitud total obtenida.
Ejemplo 1: Se tienen 
Se colocan sobre una recta, uno a
continuación de otro, tal como se ve en la figura que aparece a continuación y
la suma de los tres segmentos será el segmento 
-
Ejemplo 2:
Supóngase que se tienen 3 segmentos que miden 2, 3 y 6 cm., y se colocan sobre
una misma línea, uno a continuación de otro. Se obtendrá un segmento de 11 cm:
El
resultado gráfico será:
·
Restar:
Para restar dos segmentos puedes llevarlos a ambos sobre la misma línea
haciendo coincidir uno de los extremos de los dos. El segmento sobrante, será
la diferencia.
-
Ejemplo: Se tienen 2 segmentos de 2 y 5 cm., respectivamente:
Se
llevan sobre la recta r haciendo coincidir los
extremos A y C:
La
diferencia nos vendrá dada por el segmento
que medirá 3 cm.
·
Multiplicar:
En esta operación aritmética el producto
de un número natural por el valor
de un segmento, consiste en sumar tantos segmentos iguales como unidades tiene
el número natural.
-
Ejemplo: En la figura siguiente se tiene un segmento de 2 cm.,
que al multiplicamos por el número 4 que
es un número entero y positivo.
Sobre la recta r se coloca este segmento, uno a continuación
de otro, tantas veces como unidades tiene el número natural, en este caso, 4.
La
longitud del segmento resultante será el valor del producto, es decir, 8 cm.
·
Dividir:
En esta operación aritmética se estudia el cociente del valor de un segmento entre un número natural. El cociente que se obtenga será el valor
del segmento que piden. En realidad, se trata de la operación
inversa del producto.
-
Ejemplo: Supóngase que dan el valor del segmento 
que es de 12 cm. y
dice que se divida entre el número natural 4:
Si se
divide 12 entre 4 se obtendrá que el segmento que ha sido multiplicado por 4
vale 3 cm.
El
resultado de la división de un segmento de 12 cm., entre 4 será un segmento que
mide 3 cm.
Ejemplo:
Haciendo uso de una regla
realiza el producto: 
sabiendo que el segmento
que el segmento es igual a 2 cm.
Respuesta: 10 cm
División de un segmento en una razón
dada
El
resultado de la comparación de dos cantidades de la misma especie, se llama
razón o relación de dichas cantidades. Las razones o relaciones pueden ser
razones por cociente o geométricas.
La
razón por cociente o geometría es el resultado de la comparación de dos
cantidades homogéneas con el objeto de saber cuántas veces la una contiene.
Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse
con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.
Se
considera como el proceso de “dividir un segmento en una razón dada” a aquel
que consiste en determinar una posición (P) del elemento en cual se encuentra
dicho segmento dado entre dos puntos (A) y (B), de tal manera que el segmento
(AP) dividido entre el segmento (PB) da como resultado la razón.
r = AP
PB
Ahora,
para obtener las coordenadas de un punto “P”, que divida a un segmento en una
razón dada, se siguen las siguientes fórmulas:
x = x1 + x2r y = y1 + y2r
1
+ r 1 + r
El valor de x2 se multiplica por la razón y se divide entre la suma
de 1 más la razón. Así se obtiene la abscisa del punto “P”. La ordenada, se
obtiene de manera análoga.
Video https://youtu.be/UQoxAGWd6Ac
Pendiente de un segmento
Se define como pendiente de un segmento, al grado de inclinación
que dicho segmento posee con respecto a un sistema coordenado. Matemáticamente
se dice que la pendiente de un segmento es una diferencia de ordenadas entre
una diferencia de abscisas y se denota con la letra m.
Sea los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) que definen el segmento AB
su pendiente será:
m = y2 – y1
x2 –x1
Veamos la siguiente gráfica:
CA
Ejemplo:
Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (1, 6) y
B (5,-2)
Solución: m = -2 – 6 = -8 = -2
5 –
1 4
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Si m1 y m2 son las pendientes de 2 rectas
paralelas se debe cumplir que m1 = m2.
PUNTOS ALINEADOS
Si tres
puntos están alineados, entonces los triángulos señalados en la figura de la
izquierda son semejantes y, por tanto, sus lados son proporcionales. Se cumple
entonces que:
Esta es
la condición analítica para que los tres puntos estén alineados.
ÁNGULOS ENTRE DOS SEGMENTOS
El ángulo entre dos rectas que
se cortan en el plano cartesiano se puede calcular por dos procedimientos: a
partir de sus vectores directores o a partir de sus pendientes.
El ángulo se puede obtener a través del producto escalar de
sus vectores directores:
Podemos obtener vectores directores de cada recta de
los coeficientes A y B de sus respectivas ecuaciones puestas en
su forma general:
En el producto escalar, el numerador lo obtenemos por
los determinantes de matrices de rango 2:
Y el ángulo se obtiene por el arcocoseno,
(la función inversa del coseno), una vez este se ha
despejado en la expresión del producto escalar. En el denominador, el módulo de los
vectores directores se hallarán aplicando el teorema de Pitágoras a sus
componentes:
El otro procedimiento, más sencillo, es a partir de
sus pendientes, que son los coeficientes m1 y m2 de
la x de
las ecuaciones de las rectas secantes puestas en forma explícita u ordinaria:
Se toma siempre el ángulo menor de los dos pares que
se forman al cortarse las dos rectas, siendo 0 < α ≤ π/2.
Un caso particular de dos rectas secantes son
las rectas perpendiculares.
Sus pendientes son inversas y
de signo contrario. La condición se expresa alternativamente así:
Dependiendo de si las
ecuaciones están en forma general, explícita o simétrica.
Ejemplo:
Determinar el ángulo que forman dos rectas
secantes r y s presentadas en forma de la ecuación en forma
general. Calcularlo mediante el producto escalar de sus vectores directores
considerados:
Solución:
De las ecuaciones
generales, deduciremos vectores
directores de ambas rectas:
Ahora, con la definición de los dos
vectores directores, que expresan sus componentes cartesianos, se puede aplicar
la fórmula para hallar el ángulo. La fórmula se deriva del producto
escalar correspondiente:
Al
cortarse, las dos rectas forman un ángulo de 45°. Como en la figura:
Averiguar el ángulo que forman
estas dos rectas con ecuaciones en forma explícita. Son secantes porque los
coeficientes de x, -2/3 y 1/2 (o sus pendientes)
son diferentes:
Solución:
Se aplica la fórmula del ángulo de dos rectas
secantes en función de las pendientes:
Véase la imagen:
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