LUGAR GEOMÉTRICO Y RECTA
LUGAR GEOMÉTRICO
Definición de lugar geométrico
Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una
determinada propiedad.
La propiedad geométrica que define el lugar geométrico, tiene que traducirse
a lenguaje algebraico de ecuaciones.
Existen diferentes tipos de lugares geométricos, algunos de ellos son:
Mediatriz
La Mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de
los puntos del plano que equidistan de los extremos.
Ejemplo: Hallar la ecuación de la mediatriz del
segmento de extremos A (2 , 5) y B (4, -7).
Bisectrices
La Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de
los puntos del plano que equidistan de las rectas que forman
el ángulo.
Ejemplo: Hallar las ecuaciones de las bisectrices de
los ángulos que determinan las rectas r ≡ 3x - 4y + 5 = 0 y s ≡ 6x + 8y + 1 =
0.
Ejemplo: Hallar las bisectrices de los ángulos que la
recta r ≡ 3x - 4y + 3 = 0 forma con los ejes coordenados
Definición: Llamamos
circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano situados a una
distancia dada de un punto fijo. Llamamos radio a esa distancia y centro al
punto de referencia.
Elementos de la circunferencia
Además del centro, el radio y los
propios puntos de la circunferencia, existen otros elementos que por sus
relaciones con ella es conveniente considerar.
En un sistema de coordenadas
cartesianas x-y, la circunferencia en el centro con punto (h,k) distinto del
origen y radio r consta de todos los puntos (x,y) que satisfacen la ecuación:
(x-h)² + (y-k)² = r², donde (h,k) es
el centro y r es el radio.
Para determinar la ecuación ordinada
de la circunferencia se necesitan las coordenadas del centro y la medida del
radio.
Ejemplo: Determinar la ecuación de la
circunferencia cuyo centro está en C (3,-4) y que pasa por el punto A(6,12)
Rectas
Toda recta que no sea exterior a una
circunferencia puede ser secante o tangente a la misma. Una recta secante la
cortaría en dos puntos diferenciados, mientras que una tangente sólo comparte
un punto con la circunferencia. El segmento de una secante que queda definido
por los puntos de corte con la circunferencia recibe el nombre de cuerda. La
mediatriz de toda cuerda pasará siempre por el centro de su circunferencia.
Una recta tangente puede considerarse
un caso particular de recta secante en el que ambos extremos de la cuerda
definida son coincidentes. Por esta razón, la perpendicular a una tangente que
pase por el punto común con la circunferencia también pasará siempre por el centro
de la misma.
El diámetro de una circunferencia es
la mayor de sus cuerdas. Su valor es doble del radio y pasa necesariamente por
el centro.
En geometría analítica las líneas rectas en un plano pueden ser
expresadas mediante una ecuación del tipo y = mx + b, donde x, y son
variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada
la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que
toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano, mientras
que b es el denominado "término independiente" u
"ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta
corta al eje vertical en el plano.
CARACTERÍSTICAS DE LA RECTA
·
La
recta se prolonga indefinidamente en ambos sentidos.
·
En geometría
euclidiana,
la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta.
·
La
recta puede definirse como el conjunto de puntos situados a lo largo de la
intersección de dos planos.
Semirrecta
Se llama semirrecta
cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al ser cortada en
cualquiera de sus puntos. Es la parte de una recta conformada por todos los
puntos que se ubican hacia un lado de un punto fijo de la recta,
denominado origen, a
partir del cual se extiende indefinidamente en una sola dirección.
Semirrecta
opuesta
La semirrecta
opuesta de una semirrecta es la otra semirrecta salida de la recta
que define la primera.
·
Cada
semirrecta solo tiene una semirrecta opuestos.
·
Una
semirrecta y su semirrecta opuesta tienen el mismo origen.
ECUACIÓN
DE LA RECTA
En un plano cartesiano, podemos representar una recta
mediante una ecuación general definida en dicho plano, ya sea mediante
coordenadas usando puntos y vectores, o bien funciones que especifican dichas
coordenadas.
Pendiente
y ordenada al origen
Dada una recta mediante un punto, P= (xₒ,yₒ) y una
pendiente m. Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de
la pendiente (ecuación punto-pendiente): y - yₒ = m(x - xₒ), donde m es la tangente del ángulo que forma la
recta con el eje de abscisas X.
Ejemplos:
Sustituyendo en la ecuación anterior
se tiene:
y – y1
= m (x – x1)
y – 3 = 2 [x – (-5)]
y – 3 = 2 (x + 5)
y – 3 = 2x + 10
y – 2x -3 -10 = 0
y – 2x -13 = 0
-2x – y – 13 = 0
b)
La ecuación de la
recta que pasa por el punto A= (2,-4) y que tiene una pendiente de m= -1/3 es:
Sustituyendo en la ecuación anterior
se tiene:
y – y1
= m (x – x1)
y – (-4) = -1 (x – 2)
3
3(y + 4) = - x + 2
3y + 12 = -x + 2
3y + 12 + x - 2 = 0
x +3y + 10 = 0
Forma
simplificada de la ecuación de la recta
y – b = m (x – 0)
y – b = mx – 0
y – b = mx
y = mx + b
Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cundo se
conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b.
ECUACIÓN GENERAL
DE LA RECTA
La ecuación general de una recta está
dada por la expresión Ax + By + C = 0, con A, B, C € R y B ≠ 0, donde –A/B representa
la pendiente de la recta y -C/B señala
la ordenada en el origen, datos suficientes para representar cualquier recta en
el plano cartesiano.
Ejemplo: Hallar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos
(3,2) y (-1,-2)
Se calcula la pendiente m= y2 – y1 = -2 - 2 = -4 = 1
x2 – x1 -1 – 3 -4
Se calcula con la fórmula
y – y1 =
m (x – x1)
y – 2 = 1 (x – 3)
y – 2 = x – 3
y – x -2 + 3 = 0
-x + y + 1 = 0
(-1) -x + y + 1 = 0
x – y – 1 = 0
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