GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO
GEOMETRÍA
ANALÍTICA EN EL ESPACIO
La geometría del espacio (también
llamada geometría espacial)
es la rama de la geometría que se encarga del estudio de las figuras geométricas voluminosas
que ocupan un lugar en el espacio; estudia las propiedades y medidas de las
figuras geométricas en el espacio tridimensional o espacio euclídeo. Entre
estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el
cilindro, la pirámide, la esfera, el prisma, los poliedros regulares (los
sólidos platónicos, convexos, y los sólidos de Kepler-Poinsot, no convexos) y
otros poliedros.
La
geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana,
y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del
espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa
ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.
Cuerpos
geométricos o figuras geométricas «sólidas» que delimitan volúmenes.
CUERPOS GEOMÉTRICOS
Se llaman
cuerpos geométricos a las figuras que se han de representar en el espacio
tridimensional. Los cuerpos geométricos ocupan siempre un espacio.
La
geometría espacial se basa en un sistema formado por tres ejes (X, Y, Z):
·
Ortogonales (perpendiculares 2 a 2)
·
Normalizados (las longitudes de los vectores
básicos de cada eje son iguales).
·
Dextrógiros (el tercer eje es producto
vectorial de los otros dos).
CLASES DE SÓLIDOS
Estos cuerpos
pueden ser de dos clases:
v Poliedros,
sólidos que tienen todas las caras planas.
-
Sólidos platónicos
-
Prismas
-
Pirámides
v No
poliedros o cuerpos redondos, aquellos sólidos que tienen al menos una cara de
superficie curva.
-
Esferas
-
Cilindros
-
Toros
-
Conos
PROPIEDADES
Los sólidos
tienen propiedades, como:
·
Volumen
·
Área de la superficie
Así
mismo, los cuerpos que están huecos pueden albergar en su interior otros
cuerpos en una cantidad que recibe el nombre de capacidad. Existe una relación
directa entre la capacidad de un cuerpo y el volumen que este ocupa.
Coordenadas
en el espacio
Se puede construir este sistema
trazando en el origen un eje z perpendicular al eje x y al eje y. La figura
muestra la porción positiva de cada eje de coordenadas. Tomados por pares, los
ejes determinan tres planos coordenados: el plano xy, el plano xz y el
plano yz. Estos tres planos
coordenados dividen el espacio tridimensional en ocho octantes. El primer
octante es en el que todas las coordenadas son positivas.
En este sistema tridimensional,
un punto P en el espacio está determinado por una terna ordenada (x, y, z)
donde x, y y z son: distancia dirigida que va del plano yz a P distancia
dirigida que va del plano xz a P distancia dirigida que va del plano xy a P en
la figura se muestran varios puntos.
Muchas de las fórmulas
establecidas para el sistema de coordenadas bidimensional pueden extenderse a
tres dimensiones. Por ejemplo, para encontrar la distancia entre dos puntos en
el espacio, se usa dos veces el teorema pitagórico, como se muestra en la
figura. Haciendo esto, se obtiene la fórmula de la distancia entre los puntos P1(x1,
y1, z1) y P2(x2, y2, z2).
Ejemplos:
1.- Distancia entre dos puntos en
el espacio A (2,-1,3) y B (1,0,-2)
d = √ (1-2) ² + [0-(-1)]² + (-2-3) ², (Fórmula de
la distancia)
d = √ (-1) ² + (0+1) ² + (-5) ²
d = √ 1 + 1 + 25
d = √27 = √3³
d = 3√3
2.- Hallar la ecuación canónica
de la esfera que tiene los puntos (5,-2,3) y (0,4,-3) como extremos de un diámetro
Se usa la regla del punto medio (x1+x2, y1+y2,
z1+z2)
2 2 2
(5+0, -2+4, 3-3) = (5, 2,
0) = (5, 1, 0)
2 2
2 2 2
2 2
Según la fórmula de la distancia,
el radio es:
r = √ (x2 – x1)² + (y2 – y1)² +
(z2 – z1)²
r = √ (0 - 5) ² + (4-1)² + (-3-0)²
2
2
4
4 4
Por consiguiente, la ecuación canónica o estándar
de la esfera es:
(x –a) ² + (y – b) ² + (z – c) ² = r²
Entonces: (x – 5/2) ² + (y – 1) ² + (z – 0) ² = 97/4
(x – 5/2)
² + (y – 1) ² + z² = 97/4
Vectores en el espacio
En el espacio los vectores se denotan mediante
ternas ordenadas. El vector cero se denota por Usando los vectores unitarios y
en la dirección del eje positivo z, la notación empleando los vectores
unitarios canónicos o estándar para v es
Como se muestra en la figura. Si
v se representa por el segmento de recta dirigido de a como se muestra en la
figura, las componentes de v se obtienen restando las coordenadas del punto
inicial de las coordenadas del punto final, como sigue
1.- Hallar las componentes y la
longitud del vector v que tiene punto inicial (-2,3,1) y punto final (0,-4,4).
Después hallar un vector unitario en la dirección de v
Solución: El vector v dado mediante sus componentes es:
v = (q1 – p1, q2 – p2, q3 – p3)
dónde: q1 = 0, q2 = -4, q3 = 4 y p1 = -2, p2 = 3, p3 = 1
v = (0 – (-2), -4 – 3, 4 – 1)
v = (2, -7, 3)
Por lo cual su longitud es: ||v|| = √ 2² + (-7) ² + 3²
||v|| = √ 4 + 49 + 9 = √62
El vector unitario en la dirección de v es:
u = v =
1 (2, -7, 3) = ( 2 , 7 ,
3
)
||v||
√62 √62
√62 √62
Ejemplo: El vector w tiene punto inicial (2, -1,
3) y punto final (-4, 7, 5) ¿Cuál de los vectores es paralelo a w?
a)
u
= (3,-4,-1)
b)
v
= (12,-16, 4)
Primero
se expresa w mediante sus componentes:
w
= (-4-2, 7-(-1), 5-3) = (-6, 8, 2)
a)
Como
u = (3,-4,-1) y w = (-6,8,2), entonces el escalar es -1/2 al multiplicarlo por
w, se obtienen los valores de u
(-1/2)
w = -(1/2) (-6,8,2) = [(-1/2) (-6), (-1/2) (8), (-1/2) (2)]
= (6/2, -8/2, -2/2) = (3, -4,
-1)
Por
lo tanto, se puede decir que u es paralelo a w
b)
En
este caso se busca el escalar para multiplicar
v
= αw
(12,
-16, 4) = α (-6, 8, 2)
Si se
toma el 2.w = 2(-6,8,2) = (-12, 16, 4)
Si se
toma el (-2). w = (-2) (-6,8,2) = (12, 16, -4)
Al no
tener un escalar que, al multiplicarlo con w, dé como resultado a v, entonces,
w no es paralelo a v.
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